Question

【題目】已知曲線在處的切線方程為.

（Ⅰ）求值.

（Ⅱ）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）利切點為曲線和直線的公共點，得出，并結合列方程組求出實數、的值；

（Ⅱ）解法1：由，得出，將問題轉化為直線與曲線的圖象有兩個交點時，求出實數的取值范圍，然后利用導數研究函數

的單調性與極值，借助數形結合思想得出實數的取值范圍；

解法2：利用導數得出函數的極小值為，并利用極限思想得出當時，，結合題意得出，從而得出實數的取值范圍。

（Ⅰ），，

；

（Ⅱ）解法1：，

函數有兩個零點，相當于曲線與直線有兩個交點.，

當時，在單調遞減，

當時，在單調遞增，

時，取得極小值，

又時，；時，，；

解法2：，

，

當時，在上單調遞減，

當時，在上單調遞增，

時，取得極小值，

又時，，.