Question

如圖所示，有兩條相交成60°角的直路XX′和YY′，交點是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初甲離O點3 km，乙離O點1 km，后來兩人同時用每小時4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.

（1）起初，兩人的距離是多少？

（2）用t表示t小時后兩人的距離；

（3）什么時候兩人的距離最短？

Answer 1

（1）甲、乙兩人起初的距離是km（2）|PQ|=（3）在第15分鐘末，兩人的距離最短

解析:

（1）設甲、乙兩人起初的位置是A、B，則由余弦定理：

|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos60°

=3²+1²-2×3×1×=7,∴|AB|=.

所以甲、乙兩人起初的距離是km.

（2）設甲、乙兩人t小時后的位置分別是P、Q，

則|AP|=4t，|BQ|=4t，

當0≤t≤時，由余弦定理

|PQ|²=（3-4t）²+（1+4t）²-2（3-4t）（1+4t）·cos60°，

當t＞時，

|PQ|²=（4t-3）²+（1+4t）²-2（4t-3）（1+4t）cos120°.

注意到上面兩式實際上是統一的，

所以|PQ|²=（16t²-24t+9）+（16t²+8t+1）+（16t²-8t-3）=48t²-24t+7，

即|PQ|=.

（3）∵|PQ|=，

∴當t=時，|PQ|的最小值是2.

即在第15分鐘末，兩人的距離最短.