Question

為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為：y=x²-200x+80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元，
(Ⅰ)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(Ⅱ)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：
，
當且僅當，即x=400時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元．
(Ⅱ)設該單位每月獲利為S，
則S=100x-y
，
因為400≤x≤600，所以當x=400時，S有最大值-40 000，
故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能不虧損。