Question

某企業為了保護環境，發展低碳經濟，在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了一項把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量z（噸）之間的函數關系可近似的表示為：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

且每處理一二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元，若該項目不獲利，虧損數額國家將給予補償．
（I）當x∈[200，300]時，判斷該項目能否獲利？如果虧損，則國家每月補償數額的范圍是多少？
（Ⅱ）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析：（I）確定當x∈[200，300]時，該項目獲利函數，再利用配方法，結合函數的單調性，即可求得結論；
（Ⅱ）確定二氧化碳的每噸的平均處理成本，分段求出函數的最值，確定其最小值，即可求得結論．

解答：解：（I）當x∈[200，300]時，設該項目獲利為S，則S=200x-（

1

2

x²-200x+80000）=-

1

2

（x-400）²，
∴當x∈[200，300]時，S＜0且函數為增函數
∴該項目不會獲利，當x=300時，S取最大值-5000；當x=200時，S取最小值-20000
∴國家每月補償數額的范圍是[5000，20000]；
（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸的平均處理成本為

y

x

=

1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500)

①當x∈[120，144）時，

y

x

=

1

3

(x-120)2+240，∴x=120時，

y

x

=取得最小值240；
②當x∈[144，500）時，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
當且僅當

1

2

x=

80000

x

即x=400時，

y

x

取得最小值200，
∵200＜240
∴每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查求二次函數的最值，確定利潤函數是關鍵，屬于中檔題．