Question

（2010•天津模擬）為了保護環境，發展低碳經濟，2010年全國“兩會”使用的記錄紙、筆記本、環保袋、手提袋等均是以石灰石為原料生產的石頭紙用品，已知某單位每月石頭紙用品的產量最少為300噸，最多為500噸，每月成本y（元）與每月產量x（噸）之間的函數關系可近似的表示為：y=

1

2

x²-200x+80000，若要使每噸的平均成本最低，則該單位每月產量應為

400

噸．

Answer 1

分析：先寫出每噸的平均成本關于產量x的函數解析式即f（x）=

y

x

，注意定義域為[300，500]，再利用均值定理求函數的最小值，并求出取最小值時自變量的值即可

解答：解：∵月成本y（元）與每月產量x（噸）之間的函數關系可近似的表示為：y=

1

2

x²-200x+80000
∴每噸的平均成本f（x）=

y

x

=

1 2 x2-200x+80000

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x× 80000 x

-200=200  （300≤x≤500）
（當且僅當

1

2

x=

80000

x

，即x=400時取等號）
∴要使每噸的平均成本最低，則該單位每月產量應為400噸
故答案為 400

點評：本題考查了將實際問題轉化為數學問題的能力，利用均值定理求函數的最值的方法，特別注意等號成立的條件