Question

已知函數f（x）=（2+a）x+a²lnx（a∈R），g（x）=x²+2x
（1）設兩曲線y=f（x）和y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，求實數a的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，f（x）＜g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用兩個函數在公共點處的切線相同，求a的值．
（2）利用二次函數的性質和導數的應用，求出兩個函數的最值，利用最值之間的關系進行求a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
函數f'（x）=2+a+

a2

x

，g'（x）=2x+2，因為在公共點處的切線相同，
所以由2+a+

a2

x

=2x+2，得2x²-ax-a²=0，解得x=a或x=-

a

2

．
當x=a時，由f（a）=g（a）得（2+a）a+a²lna=a²+2a，即a²lna=0，所以a=1．
當x=-

a

2

時，由f（a）=g（a）得（2+a）（-

a

2

）+a²ln（-

a

2

）=（-

a

2

）²+2（-

a

2

），
即ln（-

a

2

）=-

1

4

，所以a=-2e

1

4

．
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=x²-ax-a²lnx，h'（x）=2x-a-

a2

x

=

2x2-ax-a2

x

=

(2x+a)(x-a)

x

，
當a＞0時①若0＜a≤1時 h'（x）≥0恒成立 只需h（1）＞0 成立，即1-a＞0，解得0＜a＜1．
②a≥e時，h'（x）≤0恒成立 只需h（e）＞0 而a²-ae+e²＞0對任意a均成立 即a≥e
③1＜a＜e時 令h'（x）=0 x=a時，h（x）取得極小值為-a²lna＞0，解得 a＜1 矛盾，舍去．
當a≤0時 ①0≤-

a

2

≤1時 h'（x）≥0恒成立 只需h（1）＞0 即-2≤a≤0
②-

a

2

≥e時 h'（x）≤0恒成立 只需h（e）＞0 即a≤-2e
③1＜-

a

2

≤e時 令h'（x）=0得 x=a時，h（x）取得極小值為-a²lna＞0，解得 a＜1，
即-2e＜a＜-2，綜上a＜1或a≥e都成立

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數與函數的單調性與最值之間的關系，考查學生的運算能力．綜合性較強，難度較大．