Question

已知函數(shù)f（x）=(logax)2-log_ax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（2）；
（Ⅱ）求解關(guān)于x的不等式f（

1+x

1-x

）＞0；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在[2，4]的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，直接代入計(jì)算，可求f（2）；
（II）令t=

1+x

1-x

，t∈（0，+∞），f（

1+x

1-x

）＞0等價(jià)于（log_at-2）（log_at+1）＞0，分類討論，可得結(jié)論；
（III）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，對(duì)稱軸為v=

1

2

．對(duì)a討論，結(jié)合函數(shù)f（x）在[2，4]的最小值為4，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（2）=(log22)2-log₂2-2=1-1-2=-2                     …．（2分）
（Ⅱ）令t=

1+x

1-x

，t∈（0，+∞）
f（

1+x

1-x

）＞0等價(jià)于（log_at-2）（log_at+1）＞0
∴l(xiāng)og_at＞2或log_at＜-1，
當(dāng)a＞1時(shí)，t＞a²或t＜

1

a

∴

1+x

1-x

＞a2或

1+x

1-x

＜

1

a

∴

a2-1

a2+1

＜x＜1或-1＜x＜

1-a

1+a

；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t＜a²或t＞

1

a

∴

1+x

1-x

＜a2或

1+x

1-x

＞

1

a

∴-1＜x＜

a2-1

a2+1

或

1-a

1+a

＜x＜1              …．（7分）
（Ⅲ）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，對(duì)稱軸為v=

1

2

．
當(dāng)a＞1時(shí)，v∈[log_a2，log_a4]
①當(dāng)1＜a≤4，即

1

2

≤loga2時(shí)，f（v）在[log_a2，log_a4]上單調(diào)遞增，
∴f_min（v）=f（log_a2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴l(xiāng)og_a2=3或log_a2=-2（不合題意）
∴a=

3	2

②當(dāng)4＜a＜16，即loga2＜

1

2

＜loga4時(shí)，fmin(v)=f(

1

2

)≠4；
③當(dāng)a≥16，即

1

2

≥loga4時(shí)，f_min（v）=f（log_a4）=(loga4)2-loga4-2=4
∴l(xiāng)og_a4=3或log_a4=-2（不合題意）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，v∈[log_a4，log_a2]，顯然

1

2

≥loga2，
∴f_min（v）=f（log_a2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴l(xiāng)og_a2=-2或log_a2=3（不合題意）
∴a=

2

2

綜上：a=

3	2

或a=

2

2

                    …．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．