Question

（重點中學學生做）某校欲在一塊長、短半軸長分別為10米與8米的橢圓形土地中規劃一個矩形區域搞綠化，則在此橢圓形土地中可綠化的最大面積為（　　）平方米．

• A．80
• B．160
• C．320
• D．160

  2

Answer 1

分析：先以長軸為x軸，長軸的中垂線為y軸，建立直角坐標系．依題意可知橢圓的標準方程，設矩形第一象限的頂點P的坐標，代入橢圓方程，進而根據均值不等式求得mn的范圍，進而根據矩形對稱性知面積為S=4mn求得答案．

解答：解：以長軸為x軸，長軸的中垂線為y軸，建立直角坐標系．依題意可知橢圓的標準方程為

x2

100

+

y2

64

=1
不妨設P（m，n）為矩形第一象限的頂點，則

m2

100

+

n2

64

=1
由矩形對稱性知面積為S=4mn，1=

m2

100

+

n2

64

≥2•

mn

10×8

∴mn≤40，
∴S≤4×40=160．
則在此橢圓形土地中可綠化的最大面積為160平方米．
故選B．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及橢圓在實際中的應用．考查了學生對圓錐曲線問題的綜合運用．