Question

（重點中學學生做）某校欲在一塊長、短半軸長分別為10米與8米的橢圓形土地中規劃一個矩形區域搞綠化，則在此橢圓形土地中可綠化的最大面積為（ ）平方米．
A．80
B．160
C．320
D．160

Answer 1

【答案】分析：先以長軸為x軸，長軸的中垂線為y軸，建立直角坐標系．依題意可知橢圓的標準方程，設矩形第一象限的頂點P的坐標，代入橢圓方程，進而根據均值不等式求得mn的范圍，進而根據矩形對稱性知面積為S=4mn求得答案．
解答：解：以長軸為x軸，長軸的中垂線為y軸，建立直角坐標系．依題意可知橢圓的標準方程為
不妨設P（m，n）為矩形第一象限的頂點，則
由矩形對稱性知面積為S=4mn，1=≥2•
∴mn≤40，
∴S≤4×40=160．
則在此橢圓形土地中可綠化的最大面積為160平方米．
故選B．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及橢圓在實際中的應用．考查了學生對圓錐曲線問題的綜合運用．