Question

某校在籌備校運會時欲制作會徽，準備向全校學生征集設計方案，某學生在設計中需要相同的三角形紙片7張，四邊形紙片6張，五邊形形紙片9張，而這些紙片必須從A、B兩種規(guī)格的紙中裁取，具體如下：

	三角形紙片（張）	四邊形紙片（張）	五邊形紙片（張）
A型紙（每張可同時裁取）	1	1	3
B型紙（每張可同時裁取）	2	1	1

（普通中學學生做）若每張A、B型紙的價格分別為3元與4元，試設計一種買紙方案，使該學生在制作時買紙的費用最省，并求此最省費用．
（重點中學學生做）若每張A、B型紙的價格分別為4元與3元，試設計一種買紙方案，使該學生在制作時買紙的費用最省，并求此最省費用．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是簡單的線性規(guī)劃的應用，根據(jù)已知條件中解：設需買A、B型紙分別為x，y張，則可做三角形紙片的為x+2y個，四邊形紙片的為x+y個，五邊形紙片的為3x+y個，由題意得出約束條件，及目標函數(shù)，然后利用線性規(guī)劃，求出最優(yōu)解．

解答：解：設需買A、B型紙分別為x，y張，
則由題意知：

x+2y≥7 x+y≥6 3x+y≥9 x≥0，y≥0

----（3分）
如圖作出可行域，解得A、B的坐標分別為(

3

2

，

9

2

)，(5，1)，（5分）
（普通中學學生做）
所需費用u=3x+4y，（x，y∈Z），
作平行直線束y=-

3

4

x+

u

4

，當它經(jīng)過點B時，在y軸上的截距最小，
故滿足條件的最優(yōu)解為（5，1），且u_min=3×5+4×1=19元．-----（9分）
答：當該學生購買A、B型紙分別為5張與1張時所需費用最低，且此最低費用為19元．---（10分）
（重點中學學生做）
所需費用u=4x+3y，（x，y∈Z），
作平行直線束y=-

4

3

x+

u

3

，當它經(jīng)過點A時，在y軸上的截距最小，但點A的坐標不是整數(shù)，則u＞4×

3

2

+3×

9

2

=

39

2

，由u=4x+3y=20得滿足條件的最優(yōu)解為（2，4），且u_min=20元．----（9分）
答：當該學生購買A、B型紙分別為2張與4張時所需費用最低，且此最低費用為20元．----（10分）

點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現(xiàn)實問題中．