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【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產經(jīng)驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學期望;
(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.
(。┰囌f明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計算得 = =9.97,s= = ≈0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù) 作為μ的估計值 ,用樣本標準差s作為σ的估計值 ,利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查?剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.

【答案】
(1)

解:由題可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之內的概率為0.9974,

則落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為1﹣0.9974=0.0026,

因為P(X=0)= ×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,

所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,

又因為X~B(16,0.0026),

所以E(X)=16×0.0026=0.0416;


(2)

(。┯桑1)知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,

由正態(tài)分布知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件,

因此上述監(jiān)控生產過程方法合理;

(ⅱ)因為用樣本平均數(shù) 作為μ的估計值 ,用樣本標準差s作為σ的估計值 ,

= =9.97,s= = ≈0.212,

所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334, +3 =9.97+3×0.212=10.606,

所以9.22 ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),

因此需要對當天的生產過程進行檢查,剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,

則剩下的數(shù)據(jù)估計μ= =10.02,

將剔除掉9.22后剩下的15個數(shù)據(jù),利用方差的計算公式代入計算可知σ2≈0.008,

所以σ≈0.09.


【解析】(1.)通過P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二項分布的期望公式計算可得結論;
(2.)(。┯桑1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產過程方法合理;
(ⅱ)通過樣本平均數(shù) 、樣本標準差s估計 、 可知( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),進而需剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,利用公式計算即得結論.

練習冊系列答案
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