Question

直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分別為A₁B₁，AB中點，
求證：
（1）平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）A₁B⊥AM．

Answer 1

分析：（1）先在四邊形AA₁B₁B中，利用一組對邊平行且相等證出四邊形B₁NAM是平行四邊形，從而B₁N∥AM，再結合直線與平面平行的判定定理，可得直線B₁N∥平面AMC₁，再用同樣的方法證出CN∥平面AMC₁，最后利用平面與平面平行的判定定理，可以證出平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）先根據直三棱柱的性質，利用線面垂直證出C₁M⊥BB₁，結合等腰三角形A₁B₁C₁中，中線C₁M⊥A₁B₁，利用直線與平面垂直的判定定理，證出C₁M⊥平面AA₁B₁B，從而得到直線C₁M⊥A₁B，再結合已知條件AC₁⊥A₁B，得到A₁B⊥平面AC₁M，結合AM?平面AC₁M，最終得到A₁B⊥AM．

解答：證明（1）∵M，N分別為A₁B₁，AB中點，
∴B₁M∥NA且B₁M=NA，
∴四邊形B₁NAM是平行四邊形
∴B₁N∥AM
又∵AM?平面AMC，B₁N?平面AMC₁，
∴B₁N∥平面AMC₁
連接MN，
∵矩形BB₁A₁A中，M、N分別是A₁B₁、AB的中點
∴BB₁∥MN且BB₁=MN
∵BB₁∥CC₁且BB₁=CC₁
∴四邊形CC₁MN是平行四邊形，
∴MC₁∥CN，
∵MC₁?平面AMC，CN?平面AMC₁，
∴CN∥平面AMC₁，
∵CN?平面B₁CN，B₁N?平面B₁CN，CN∩B₁N=N，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁；
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
BB₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁
∴C₁M⊥BB₁
又∵B₁C₁=A₁C₁，M為A₁B₁中點，
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵A₁B₁∩BB₁=B₁，A₁B₁、BB₁?平面AA₁B₁B
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁B?平面AA₁B₁B，
∴C₁M⊥A₁B，
又∵AC₁⊥A₁B，C₁M∩AC₁=C₁，C₁M、AC₁?平面AC₁M，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM?平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM．

點評：本題在一個特殊的直三棱柱中，通過證明平面與平面平行和兩條異面直線互相垂直，著重考查了面面平行的判定定理和線面垂直的判定與性質，屬于中檔題．