Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=

3

，A1A=

3

．
（I）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求二面角A-A₁C-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）由連接AC₁，A₁C∩AC₁=O，由中位線定理得到OD∥BC₁，再由線面平行的判定定理得到結(jié)論；
（II）根據(jù)直三棱柱的特征建立空間直角坐標系，求得相應(yīng)點的坐標，進而求得向量的坐標，再由二面角的向量公式求解．

解答：（I）證明：連接AC₁，A₁C∩AC₁=O，
連接OD，則OD∥BC₁，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（II）在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∵AC⊥CB，
∴分別以CA，CB，CC₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz，
因為BC=1，AA1=AC=

3

，
則C（0，0，0），A（

3

，0，0），A1(

3

，0，

3

)，B（0，1，0），D（

3

2

，

1

2

，0）
設(shè)平面A₁DC的法向量為n（x，y，z）則

n •   CD =0 n • CA1 =0

∵

CD

=(

3

2

，

1

2

，0)，

CA1

=(

3

，0，

3

)，
∴

3 2 x+ 1 2 y=0 3 x+ 3 z=0.

則

y=- 3 x z=-x

，
取x=1，得平面A₁DC的一個法向量為n=(1，-

3

，-1)．
m=

CB

=(0，1，0)為平面CAA₁C₁的一個法向量．
cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

- 3

1• 5

=-

15

5

由圖可知，二面角A-A₁C-D的大小為arccos

15

5

點評：本題主要考查線面平行的判定定理以及向量法求解空間角問題．