Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設f（x）=．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實數(shù)k的范圍；
（Ⅲ）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）只需要利用好所給的在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的兩個未知數(shù)；
（Ⅱ）要結合（Ⅰ）的結論將問題具體化，在通過游離參數(shù)化為求函數(shù)ϕ（t）=t²-2t+1最小值問題即可獲得問題的解答；
（Ⅲ）可直接對方程進行化簡、換元結合函數(shù)圖象即可獲得問題的解答．
解答：解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a
當a＞0時，g（x）在[2，3]上為增函數(shù)
故
當a＜0時，g（x）在[2，3]上為減函數(shù)
故
∵b＜1
∴a=1，b=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x²-2x+1.．
方程f（2^x）-k•2^x≥0化為，
令，k≤t²-2t+1
∵x∈[-1，1]∴記ϕ（t）=t²-2t+1
∴φ（t）_min=0
∴k≤0
（Ⅲ）方程
化為
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0
令|2^x-1|=t，則方程化為t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程有三個不同的實數(shù)解，
∴由t=|2^x-1|的圖象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1
記ϕ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k）
則或
∴k＞0．
點評：本題考查的是函數(shù)與方程以、恒成立問題以及解的個數(shù)的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、恒成立的思想以及數(shù)形結合和問題轉化的思想．值得同學們體會反思．