Question

已知命題p：“橢圓

x2

k-1

+

y2

3-k

=1的焦點在x軸上”；命題q：“對于任意的x，不等式x²-kx+k＞0恒成立”；若命題p∧q為假命題，￢q為假命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：首先，求解當命題p為真命題時，2＜k＜3，當命題q為真命題時，0＜k＜4，然后，結合命題p∧q為假命題，￢q為假命題，得到命題p為假命題、命題q為真命題，然后，求解其范圍即可．

解答： 解：對于命題p，∵橢圓

x2

k-1

+

y2

3-k

=1的焦點在x軸上，
∴

k-1＞0 3-k＞0 k-1＞3-k

，解得：2＜k＜3，…（4分）
故當命題p為真命題時，2＜k＜3，
對于命題q，∵對于任意的x，不等式x²-kx+k＞0恒成立，
∴只需△=（-k）²-4k＜0，解得：0＜k＜4，…（8分）
故當命題q為真命題時，0＜k＜4，
因為命題p∧q為假命題，￢q為假命題，
所以命題p為假命題、命題q為真命題，即“p假q真”…（10分）
則

k≤2或k≥3 0＜k＜4

，解得0＜k≤2或3≤k＜4； …（13分）
故所求的實數k的取值范圍為（0，2]∪[3，4）．

點評：本題重點考查了命題的真假判斷、復合命題的真值表等知識，屬于中檔題．