Question

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓C的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A（x₁，y₁），（x₂，y₂）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）結合直線與圓的位置關系，以及橢圓的第二定義的運用來證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設點，則到直線的距離為

，即，                 （2分）

因為在圓內，所以，故；                 （4分）

因為圓的半徑等于橢圓的短半軸長，所以，

橢圓方程為.                         （6分）

（Ⅱ）因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，是切點，故

為直角三角形，所以，

又，可得，                    （7分）

，又，可得，        （9分）

所以，同理可得，            （11分）

所以，即.      （12分）

考點：橢圓的方程以及定義

點評：主要是考查了橢圓的方程的求解以及焦半徑公式的運用，屬于中檔題。