Question

已知圓C的圓心C在y軸上，且圓C與直線y=x+1相切，點A（-1，-2）在圓內，圓半徑等于2

2

（1）求圓的方程；
（2）求經過點A的最短弦所在的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意設圓的標準方程為x²+（y-b）²=8，根據圓C與直線y=x+1相切，利用點到直線的距離公式建立關于b的等式，解出b=5或-3．由點A（-1，-2）在圓內加以檢驗，可得b=-3，所以圓的方程是x²+（y+3）²=8；
（2）根據圓的性質，可得當經過點A的弦最短時，直線l與AC所在直線垂直，由此算出直線l的斜率，利用直線方程的點斜式列式，化簡即可得到所求直線l的方程．

解答：解：（1）根據題意，圓心的坐標為C（0，b），半徑r=2

2

，
設圓的標準方程為x²+（y-b）²=8，
∵圓C與直線y=x+1相切，
∴C（0，b）到直線y=x+1的距離等于半徑，即

|-b+1|

2

=2

2

，解之得b=5或-3．
∵點A（-1，-2）在圓內，
∴|CA|=

(-1-0)2+(-2-b)2

＜2

2

，解之得-

7

-2＜b＜

7

-2．
因此，b=5不符合題意，可得b=-3．
∴圓的方程是x²+（y+3）²=8；
（2）當經過點A的弦最短時，其所在直線l與直線AC互相垂直，
∵AC的斜率k=

-3+2

0+1

=-1，∴直線l的斜率k'=

-1

k

=1，
可得直線l方程為y+2=x+1，即x-y-1=0．

點評：本題給出圓滿足的條件，求圓的方程并求經過圓內點A截得最短弦長的直線方程．著重考查了圓的標準方程、直線的基本量與基本形式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．