Question

已知圓C方程為：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²（m≠0）
（1）求證：當m變化時，圓C的圓心在一定直線上；（2）求（1）中一系列圓的公切線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據圓的標準方程，可寫出圓心坐標，進而消去參數，即可證明；
（2）分斜率存在與不存在進行討論，利用直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑長求解即可．

解答：證明：（1）由

a=2m+1 b=m+1

消去m得a-2b+1=0．故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上．
解：（2）設公切線方程為y=kx+b，則由直線與圓相切有
2|m|=

|k(2m+1)-(m+1)+b|

1+k2

，對一切m≠0成立．
即（-4k-3）m²+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）²=0對一切m≠0恒成立
所以

-4k-3=0 k+b-1=0

即

k=- 3 4 b- 7 4 .

當k不存在時，圓心到直線為x=1的距離為2|m|，即半徑，故x=1也是一系列圓的公切線．
所以公切線方程y=-

3

4

x+

7

4

和x=1．

點評：本題以圓的標準方程為載體，考查圓心的軌跡，考查直線與圓相切，有一定難度．