Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求證：DC⊥平面PAC；
（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；
（3）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，

∴PC⊥DC，

∵DC⊥AC，PC∩AC=C，

∴DC⊥平面PAC；

（2）

證明：∵AB∥DC，DC⊥AC，

∴AB⊥AC，

∵PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴PC⊥AB，

∵PC∩AC=C，

∴AB⊥平面PAC，

∵AB平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC；

（3）

解：在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．

∵點E為AB的中點，

∴EF∥PA，

∵PA平面CEF，EF平面CEF，

∴PA∥平面CEF

【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明DC⊥平面PAC；
（2）利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面PAC，即可證明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．利用線面平行的判定定理證明．
本題考查線面平行與垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系和平面與平面之間的位置關系的相關知識點，需要掌握直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點；兩個平面平行沒有交點；兩個平面相交有一條公共直線才能正確解答此題．