Question

已知f(x)是二次函數，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，且f(x)在區間[-1，4]上的最大值是12，
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)是否存在自然數m，使得方程f(x)+=0在區間(m，m+1)內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(x)是二次函數，且f(x)＜0的解集是(0，5)，
∴可設f(x)=ax(x-5)(a＞0)，
∴f(x)在區間[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a，
由已知，得6a=12，∴a=2，
∴f(x)=2x(x-5)=2x²-10x(x∈R)。
(Ⅱ)方程等價于方程2x³-10x²+37=0，
設h(x)=2x³-10x²+37，
則h′(x)=6x²-20x=2x(3x-10)，
當時，h′(x)＜0，h(x)是減函數；
當時，h′(x)＞0，h(x)是增函數；
∵h(3)=1＞0，，h(4)=5＞0，
∴方程h(x)=0在區間內分別有唯一實數根，而在區間(0，3)，(4，+∞)內沒有實數根，
所以存在唯一的自然數m=3，使得方程f(x)+在區間(m，m+1)內有且只有兩個不等的實數根。