Question

11．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函數f（x）=x²+ax+b在[-$\frac{1}{2}$，0]上至少存在一個零點，則a-2b的取值范圍為[0，3]．

Answer 1

分析 列出滿足條件約束條件，畫出滿足條件的可行域，進而可得答案．

解答 解：由題意，要使函數f（x）=x²+ax+b在區間[-$\frac{1}{2}$，0]有零點，
只要$f（-\frac{1}{2}）•f（0）≤0$，或$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1+b≥0\\ f（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b≥0\\-\frac{1}{2}＜-\frac{a}{2}＜0\\△={a}^{2}-4b＞0\end{array}\right.$，
其對應的平面區域如下圖所示：


則當a=1，b=-1時，a-2b取最大值3，
當a=0，b=0時，a-2b取最小值0，
所以a-2b的取值范圍為[0，3]；
故答案為：[0，3]．

點評 本題考查了函數零點的分布，線性規劃，關鍵是結合二次函數圖象等價得到不等式組．