Question

已知虛數z滿足z+

9

z-2

∈R，則|z+4+8i|的取值范圍是

[7，13]

．

Answer 1

分析：設z=x+yi，由題意可得（x-2）²+y²=9，而|z+4+8i|=

(x+4)2+(y+8)2

的幾何意義是在圓（x-2）²+y²=9上任意取一點（x，y），到（-4，-8）的距離，結合圓的性質可求

解答：解：設z=x+yi（x，y∈R）
∵z+

9

z-2

∈R，
∴x+yi+

9

x-2+yi

=x+yi

9(x-2-yi)

(x-2)2+y2

由題意可得，y+

-9y

(x-2)2+y2

=0
∴（x-2）²+y²=9
∵|z+4+8i|=

(x+4)2+(y+8)2

的幾何意義是在圓（x-2）²+y²=9上任意取一點（x，y），到（-4，-8）的距離d
∵（-4，-8）到圓心（2，0）的距離

(-4-2)2+(0-8)2

=10
∴10-r≤d≤r+10
即7≤d≤13
故答案為：[7，13]

點評：本題主要考查了復數的基本運算及復數的模的求解，解題的關鍵是靈活利用幾何意義進行求解