Question

已知p:0＜m＜,q:方程mx²-2x+3=0有兩個同號且不相等實根，證明p是q的充要條件.

Answer 1

思路分析：證充分性：即證pq,證必要性即證qp,需證兩個方面.?

證明：當m=0時，方程化為-2x+3=0,僅有一個實根x=,當m≠0時，且Δ=4-12m＞0即m＜且m≠0時，方程有兩個不相等的實根，設兩根為x₁,x₂.?

若0＜m＜時，方程有兩個不相等的實數根，且x₁+x₂=＞0,x₁x₂=＞0,故方程有兩個同號且不相等的實數根.?

即0＜m＜方程mx²-2x+3=0有兩個同號且不相等的實數根.?

若方程mx²-2x+3=0有兩個同號且不相等的實數根，則有

∴0＜m＜.

即方程mx²-2x+3=0有兩個同號且不相等的實數根0＜m＜.?

所以q是p的充要條件.

溫馨提示

對含參數的命題的充要條件的證明中常需對參數分類討論，對一元二次方程根的問題討論，要依據判別式、韋達定理或數形結合來綜合研究.