Question

（本小題滿分12分）
四棱錐,面⊥面.側面是以為直角頂點的等腰直角三角形，底面為直角梯形，,∥，⊥,為上一點，且.

（Ⅰ）求證⊥；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）先證⊥面，再證⊥面，進而得證；
（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）面⊥面且交線為又⊥，
∴⊥面，
∴⊥，                                                           ……3分
∵⊥，，
∴⊥面，，                                          ……5分
∴⊥.                                                            ……6分
（Ⅱ）設為中點，則⊥，∴⊥面,
建系如圖，則,
∴，,                                    ……8分
設為面的法向量,
則，∴為面的一個法向量,                  ……9分
為面的法向量,                                         ……10分
∴,                                           ……11分
∴二面角的正弦值為.                                      ……12分
點評：用定理證明立體幾何問題時要緊扣定理，定理中要求的條件一個也不能漏；用空間向量求解二面角時，要仔細計算，還要注意題目中的二面角時銳角還是鈍角.