Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對于任意n∈N^*，都有a_n是n與S_n的等差中項，
（1）求證：a_n=2a_n-1+1（n≥2）；
（2）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

分析：（1）根據a_n是n與S_n的等差中項建立等式關系2a_n=S_n+n，根據遞推關系得到當n≥2時，2a_n-1=S_n-1+n-1，將兩式作差整理可得結論；
（2）由（1）知a_n+1=2（a_n-1+1），從而得到{a_n+1}是首項為a₁+1=2，公比為2的等比數列，求出其通項公式，然后利用放縮法得

1

an

=

1

2n-1

＜

1

2n-1

，最后利用等比數列求和公式進行求和，證得結論．

解答：證明：（1）∵a_n是n與S_n的等差中項
∴2a_n=S_n+n，
所以當n=1時，a₁=1，
當n≥2時，2a_n-1=S_n-1+n-1，
兩式作差：2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+1=a_n+1，
整理得：a_n=2a_n-1+1，n≥2．
（2）由（1）知，a_n+1=2（a_n-1+1），
所以{a_n+1}是首項為a₁+1=2，公比為2的等比數列，
a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1，所以：
當n=1時，

1

a1

=1＜2成立，
當n≥2時，a_n=2ⁿ-1＞2^n-1，
故

1

an

=

1

2n-1

＜

1

2n-1

，
所以：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2

點評：本題主要考查了數列遞推式，以及利用放縮法證明不等式和等比數列的求和，同時考查了轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．