Question

正四面體的內切球和外接球的半徑分別為r和R，則r：R為（　　）

A．1：2

B．1：3

C．1：4

D．1：9

Answer 1

設正四面體為PABC，兩球球心重合，設為O．
設PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內切球的高．
設正四面體PABC底面面積為S．
將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，
可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．
每個正三棱錐體積V₁=

1

3

?S?r 而正四面體PABC體積V₂=

1

3

?S?（R+r）


根據前面的分析，4?V₁=V₂，
所以，4?

1

3

?S?r=

1

3

?S?(R+r)，
所以，

r

R

=

1

3

．
故選B．