Question

正四面體的內切球和外接球的半徑分別為r和R，則r：R為（　　）

A．1：2

B．1：3

C．1：4

D．1：9

Answer 1

分析：畫出圖形，確定兩個球的關系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值即可．

解答：解：設正四面體為PABC，兩球球心重合，設為O．
設PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內切球的高．
設正四面體PABC底面面積為S．
將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，
可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．
每個正三棱錐體積V₁=

1

3

•S•r 而正四面體PABC體積V₂=

1

3

•S•（R+r）
根據前面的分析，4•V₁=V₂，
所以，4•

1

3

•S•r=

1

3

•S•(R+r)，
所以，

r

R

=

1

3

．
故選B．

點評：本題是中檔題，考查正四面體的內切球與外接球的關系，找出兩個球的球心重合，半徑的關系是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算能力．