Question

8．設f（x）是定義在R上的偶函數，對于任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[-1，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區間（-1，3]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數解，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，4）
• C． （3，5）
• D． （4，6）

Answer 1

分析 利用因為f（x+2）=f（x），且f（x）是定義域為R的偶函數，求出函數f（x）是周期為2的偶函數，根據x∈[-1，0]時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$，畫出f（x）在區間（-1，3]上的圖象，數形結合法，可得答案．

解答 解：由題意：f（x+2）=f（x），且f（x）是定義域為R的偶函數，又f（-1）=f（1），則有f（x+2）=f（x）．
所以f（x）是周期為2的偶函數，
又∵當x∈[-1，0]時，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}-1$，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，故函數f（x）在區間（-1，3]上的圖象如圖所示：

若在區間（-1，3]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數解，
則log_a3＜1，log_a5＞1，
解得3＜a＜5，
故選C．

點評 本題考查了函數的奇偶性、指數函數與對數函數的單調性、函數的零點，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力，屬于中檔題．