Question

9．已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，則向量$\overrightarrow{CA}$在向量$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． -3
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得四邊形OBAC是邊長為2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACO=30°，可得向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為：|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠ACB，計算求的結果．

解答 解：△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴OBAC為平行四邊形．
∵△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
∴四邊形OBAC是邊長為2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，
因此，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACO=30°，
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為：|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠ACB=2cos30°=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題給出三角形外接圓滿足的向量等式，求向量的投影，著重考查了向量的加法法則、向量數量積的運算性質和向量在幾何中的應用等知識，屬于中檔題．