Question

設x＞0，y＞0，x+y+xy=2，則x+y的最小值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．1+

  3

• C．2

  3

  -2
• D．2-

  3

Answer 1

分析：由

xy

≤

x+y

2

將方程轉化為不等式，利用換元法和二次不等式的解法求出“x+y”的范圍，即求出它的最小值．

解答：解：∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2

xy

（當且僅當x=y時取等號），
則

xy

≤

x+y

2

，xy≤

(x+y)2

4

，
∵x+y+xy=2，∴xy=-（x+y）+2≤

(x+y)2

4

，
設t=x+y，則t＞0，代入上式得，t²+4t-8≥0，
解得，t≤-2-2

3

或t≥2

3

-2，則t≥2

3

-2，
故x+y的最小值是2

3

-2，
故選C．

點評：本題考查了基本不等式的應用，還涉及了二次不等式的解法、換元法，利用換元法時一定注意換元后的范圍，考查了轉化思想和整體思想．