Question

已知向量

a

⊥

b

，

c

在

a

，

b

上的投影分別是1與2，且|

c

|=

10

，則

c

與

a

+

b

所成夾角等于

 

．

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角

專題：空間向量及應用

分析：易得

c

與

a

+

b

所成夾角即

c

與

a

，

b

所在平面的夾角θ，由最小角定理可得答案．

解答： 解：∵

c

與

a

+

b

所成夾角即

c

與

a

，

b

所在平面的夾角θ，
∵

c

在

a

，

b

上的投影分別是1與2，
∴cosθ₁=

2

10

，cosθ₂=

1

10

，
由最小角定理可得cosθ₁=cosθ•cosθ₃，cosθ₂=cosθ•cosθ₄，
∴cosθ=

cosθ1

cosθ3

，cosθ=

cosθ2

cosθ4

，θ₃+θ₄=

π

2

，
∴

2

10

sinθ3=

1

10

cosθ3，∴cosθ₃=2sinθ₃，
∴sinθ₃=

5

5

，cosθ₃=

2 5

5

，
∴cosθ=

2 10

2 5 5

=

2

2

，∴

c

與

a

+

b

所成夾角最小值為45°，
故答案為：45°

點評：本題考查數量積與向量的夾角，涉及最小角定理以及投影的應用，屬中檔題．