Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積．

Answer 1

(1) ; (2)

試題分析：(1)根據(jù)題意可列方程組，進(jìn)而可求解的值.
(2) 設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，①    
利用，因此要先確定直線AB的方程和點(diǎn)P到直線AB的距離．設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，則．
因?yàn)锳B是等腰△的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2． 
此時方程①為，解得，所以，所以|AB|=． 此時，點(diǎn)P（－3，2）到直線AB：的距離，所以S=.
（1）由已知得．         （ 2分）
解得.又，所以橢圓G的方程為．   （4分)
（2）設(shè)直線l的方程為.
由得． ①             6分
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，
則． （ 8分），
因?yàn)锳B是等腰△的底邊，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2．     （ 10分）
此時方程①為，解得，所以，所以|AB|=． 此時，點(diǎn)P（－3，2）到直線AB：的距離， 所以△的面積S=．     （12分）