Question

若對定義在R上的可導函數f（x），恒有（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0，（其中f′（2x）表示函數f（x）的導函數f′（x）在2x的值），則f（x）（　　）

A、恒大于等于0

B、恒小于0

C、恒大于0

D、和0的大小關系不確定

Answer 1

分析：根據條件構造函數g（x）=

x4f(2x)

ex

，利用導數研究函數g（x）的單調性和極值，進而可以判斷函數f（x）的取值情況．

解答：解：函數g（x）=

x4f(2x)

ex

，
則g′(x)=

[x4f(2x)]′ex-x4f(2x)?[ex]′

[ex]2

=

4x3f(2x)+2x4f′(2x)-x4f(2x)

ex

=

(4x3-x4)f(2x)+2x4f′(2x)

ex

=

x3[(4-x)f(2x)+2f′(2x)]

ex

，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴當x＞0時，g'（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增，
當x＜0時，g'（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減，
∴當x=0時，g（x）取得極小值，同時也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(2x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(2x)

ex

≥0，當x≠0時，g（x）＞0，
∴當x≠0時，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴當x=0時，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
綜上無論x取何值，恒有f（x）＞0，
故選C．

點評：本題主要考查函數值判斷，利用條件構造函數g（x）=

x4f(2x)

ex

是解決本題的關鍵，利用導數研究函數的單調性和極值，考查學生的觀察能力，綜合性較強，難度較大．