Question

已知f（x）是定義在R上的可導函數，若函數F（x）=xf（x），滿足F'（x）＞0對x∈R恒成立，則下面四個結論中，所有正確結論的序號是（　　）
①f（1）+f（-1）＞0；　　
②f（x）≥0對x∈R成立；
③f（x）可能是奇函數；　
④f（x）一定沒有極值點．

A．①②

B．①③

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：由于函數F（x）=xf（x），滿足F′（x）＞0對x∈R恒成立，則可知F（x）=xf（x）為R上的增函數，然后分別利用函數的性質進行判斷．

解答：解：由于函數F（x）=xf（x），滿足F′（x）＞0對x∈R恒成立，則可知F（x）=xf（x）為R上的增函數，
則①f（1）＞-f（-1）即f（1）+f（-1）＞0；
②由于[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＞0，
又由y=xf（x）單調遞增，y=x也單調遞增，則函數y=f（x）單調遞增，故f′（x）≥0，
所以當x＜0時，f（x）≥0成立，而當x≥0時，f（x）≥0不一定成立；
③因為奇函數在對稱區間上的單調性相同，所以f（x）可能是奇函數；
④由y=xf（x）單調遞增，y=x也單調遞增，則函數y=f（x）單調遞增，故f′（x）≥0，f（x）一定沒有極值點．
故答案為 B

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查導數知識的運用，解題的關鍵是利用導數判斷函數的單調性．