Question

【題目】已知橢圓，直線經過的右頂點和上頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的右焦點為，過點作斜率不為的直線交橢圓于兩點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意得到右頂點和上頂點的坐標，得到的值后可得橢圓的方程．（2）設出直線方程，可得點到直線的距離．結合直線方程與橢圓方程聯立消元后所得的一元二次方程，可求得弦長，根據求得后，根據函數求最值的方法可求得的最大值．

試題解析：

（1）在方程中，

令，得，所以上頂點的坐標為，故；

令，得，所以右頂點的坐標為，故．

所以橢圓的方程為.

（2）由條件可得直線過點，且斜率存在，

設其方程為，即，

由消去y整理得

．

∵直線與橢圓交于兩點，

∴，

解得．

設，

則，

∴

，

又點到直線的距離．

∴

，

令，

則，

所以當，即時， 有最大值，且最大值為．

經檢驗知滿足，故的面積的最大值為．