Question

已知函數f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x的范圍求出2x-

π

3

的范圍，進一步得到sin(2x-

π

3

)的范圍，從而得到f（x）的最大值和最小值；
（2）由（1）中求得的f（x）的范圍得到2-m≤f（x）-m≤3-m，再由不等式-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，利用兩不等式端點值間的關系列不等式組求解m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴2≤f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
故f（x）的最大值為3，最小值為2；
（2）由（1）知，當x∈[

π

4

，

π

2

]時，2-m≤f（x）-m≤3-m，
要使-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
只需

3-m＜2 2-m＞-2

，解得1＜m＜4，
∴實數m的取值范圍是（1，4）．

點評：本題考查了三角函數值的求法，考查了數學轉化思想方法，體現了集合思想在解題中的應用，是中檔題．