Question

【題目】已知圓 ，圓心為 ，定點 ， 為圓 上一點，線段 上一點 滿足 ，直線 上一點 ，滿足 ．
（Ⅰ）求點 的軌跡 的方程；
（Ⅱ） 為坐標原點， 是以 為直徑的圓，直線 與 相切，并與軌跡 交于不同的兩點 ．當 且滿足 時，求 面積 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵
∴ 為線段 中點
∵
∴ 為線段 的中垂線
∴
∵
∴由橢圓的定義可知 的軌跡是以 為焦點，長軸長為 的橢圓，
設橢圓的標準方程為 ，
則 ， ，
∴ 。
∴點 的軌跡 的方程為 。
（Ⅱ）∵圓 與直線 相切，
∴ ，即 ，
由 ，消去 .
∵直線 與橢圓交于兩個不同點，
∴ ，
將 代入上式，可得 ，
設 ， ，
則 ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，解得 .滿足 。
又 ，
設 ，則 .
∴ ，
∴
故 面積 的取值范圍為 。
【解析】（1）根據題意易得QN為線段的中垂線，可得，所以，由橢圓的定義可知Q的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓。
（2）由直線 l : y = k x + m 與 ⊙ O 相切可得=1即。將該式與Q的軌跡C的方程聯立整理后得，可以表示出，又直線 l 與橢圓交于兩個不同點，根據題目中λ的范圍和這個條件可求出k的范圍。，根據求出的k的范圍即可求出S的取值范圍。