Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）
（1）證明：函數f（x）是偶函數；
（2）利用絕對值及分段函數知識，將函數解析式寫成分段函數的形式，然后畫出函數圖象，并寫出函數的值域；
（3）在同一坐標系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數的解析式，我們判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義可得函數的奇偶性，
（2）先將帶絕對值的函數轉化成分段函數的形式，進而結合分段函數的圖象和性質及偶函數圖象關于y軸對稱，可得函數簡圖；
（3）根據（2）中函數簡圖，數形結合可在同一坐標系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．
解答：解：（1）f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）
∴f（x）是偶函數   
（2）原函數式可化為：
；其圖象如圖所示，
由函數圖象知，函數的值域為[2，+∞）  …（9分）
（3）由函數圖象知，
當x=0或2時，f（x）=x+2．
結合圖象可得，不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}…（12分）
點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數的圖象和性質，函數奇偶性的判斷，其中畫出函數的圖象是解答本題的關鍵．