Question

實驗表明，某型號的汽車每小時的耗油量y（升）與速度x（千米/小時）的關系式為，已知甲乙兩地相距180千米，最高時速為V千米/小時．
（1）當車速度x（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量為f（x）（升），求函數f（x）的解析式并指出函數的定義域；
（2）當車速為多大時，從甲地到乙地的耗油量最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中每小時的耗油量y（升）與速度x（千米/小時）的關系式，甲乙兩地相距180千米，則當車速度x（千米/小時）時，花費的時間為小時，進而得到函數f（x）的解析式，結合甲乙兩地相距180千米，可得到函數的定義域；
（2）根據（1）中得到的函數解析式，求出導函數的表達式，結合根據導數法求函數最值的方法和步驟，我們易確定出車速為多大時，從甲地到乙地的耗油量最少．
解答：解：（1）∵每小時的耗油量y（升）與速度x（千米/小時）的關系式為，
甲乙兩地相距180千米，當車速度x（千米/小時）時，
f（x）==，x∈（0，V]…6分（2）∵f（x）=，
∴f′（x）=
令f′（x）=0，解得x=90…8分
若V＜90，有f′（x）＜0，則函數f（x）在區間（0，V）內為單調減函數，所以車速為V（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量最��；…11分
若V≥90，當0＜x＜90時，f′（x）＜0；當90＜x≤V時，f′（x）＞0，所以，當x=90時，f（x）最小．…14分
綜上：若V＜90，車速為V（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量最小；若V≥90，車速為90（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量最�。�…15
點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，利用導數求閉區間上的函數的最值，其中在建立函數模型時，由實際出發分析自變量的取值范圍（定義域）是應用題的易忽略點，而（2）中要注意對V的取值進行分類討論．