Question

實驗表明，某型號的汽車每小時的耗油量y（升）與速度x（千米/小時）的關系式為y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，已知甲乙兩地相距180千米，最高時速為V千米/小時．
（1）當車速度x（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量為f（x）（升），求函數f（x）的解析式并指出函數的定義域；
（2）當車速為多大時，從甲地到乙地的耗油量最少？

Answer 1

（1）∵每小時的耗油量y（升）與速度x（千米/小時）的關系式為y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，
甲乙兩地相距180千米，當車速度x（千米/小時）時，
f（x）=

180

x

×y=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，x∈（0，V]…6分（2）∵f（x）=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，
∴f′（x）=540(

2x

903

-

2

x2

)
令f′（x）=0，解得x=90…8分
若V＜90，有f′（x）＜0，則函數f（x）在區間（0，V）內為單調減函數，所以車速為V（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量最小；…11分
若V≥90，當0＜x＜90時，f′（x）＜0；當90＜x≤V時，f′（x）＞0，所以，當x=90時，f（x）最小．…14分
綜上：若V＜90，車速為V（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量最小；若V≥90，車速為90（千米/小時）時，從甲地到乙地的耗油量最小．…15