Question

【題目】如圖，設(shè)H為銳角△ABC的垂心.由頂點(diǎn)A向以BC為直徑的⊙O作一條切線AE，切點(diǎn)為E，聯(lián)結(jié)EH交AO于點(diǎn)G，過G任意作⊙O的一條弦PQ.證明：AO 平分∠PAQ.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖，

設(shè)AD、CF是△ABC的兩條高，于是，F(xiàn)在⊙O上，因?yàn)椤螧FC=∠ADB=90°，

所以，B、F、H、D四點(diǎn)共圓.

由割線定理得.

聯(lián)結(jié)OE，則OE⊥AE.于是，有.

所以，.①

過點(diǎn)E作.垂足為，聯(lián)結(jié).

在Rt△AEO中，由射影定理得.②

由式①、②得.

則O、D、H、四點(diǎn)共圓.

故.從而，.

因此，E、、H三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G與重合.

所以，EH⊥AO.

聯(lián)結(jié)OP、OQ.在⊙O中，由EH⊥AO及相交弦定理得：

.

則A、P、O、Q四點(diǎn)共圓.

又OP=OQ，所以，∠PAO=∠QAO.