Question

A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全，核電站與城距離不得少于10km．若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．已知月供電費用與供電距離的平方和月供電量的積成正比，比例系數為0.25．
（1）求x的范圍；
（2）若A、B兩城月供電總費用為y，把y表示x的函數；
（3）問核電站建在距A城多遠，才能使A、B兩城月供電總費用最小．

Answer 1

解：（1）因為核電站距A城xkm，則距B城（100-x）km；∴x≥10，且100-x≥10，解得，10≤x≤90； 所以，x的取值范圍是{x|10≤x≤90}．
（2）A城供電費用為：y₁=0.25×20x²=5x²； B城供電費用為：y₂=0.25×10（100-x）²=2.5x²-500x+25000； 所以總費用為：y=y₁+y₂=5x²+（2.5x²-500x+25000）=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90）；
（3）因為函數y=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90），當x=-=時，此函數取得最小值；
所以，核電站建在距A城km處，能使A、B兩城月供電總費用最小．
分析：（1）因為核電站距A城xkm，則距B城（100-x）km；由x≥10，且100-x≥10，得x的范圍；
（2）A城供電費用y₁=0.25×20x²，B城供電費用y₂=0.25×10（100-x）²，總費用y=y₁+y₂，整理即可；
（3）因為函數y=7.5x²-500x+25000是二次函數，由二次函數的性質可得，x=-時，函數y取得最小值．
點評：本題考查了二次函數模型的應用，二次函數求最值時，通常考慮是否取在對稱軸x=-處，所以本題是中檔題．