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5.如圖,在四棱錐A-BCED中,AD⊥底面BCED,BD⊥DE,∠DBC=∠BCE═60°,BD=2CE.
(1)若F是AD的中點,求證:EF∥平面ABC;
(2)若AD=DE,求BE與平面ACE所成角的正弦值.

分析 (1)取DB中點G,連結EG、FG.證面EGF∥平面ABC,即可得EF∥平面ABC.
(2)以點D為原點,建立如圖所示的直角坐標系D-xyz,則A(0,0,$\sqrt{3}$),E(0,$\sqrt{3}$,0),B(2,0,0),C($\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,0).求出平面ACE的法向量即可

解答 證明:(1)取DB中點G,連結EG、FG.
∵F是AD的中點,∴FG∥AB.
∵BD=2CE,∴BG=CE.
∵∠DBC=∠BCE
∴E、G到直線BC的距離相等,則BG∥CB,
∵EG∩FG=G
∴面EGF∥平面ABC,則EF∥平面ABC.
解:(2)以點D為原點,建立如圖所示的直角坐標系D-xyz,設EC=1,則DB=2,取BC中點C,則EG∥BC,∴BC=3,
∵AD=DE,則A(0,0,$\sqrt{3}$),E(0,$\sqrt{3}$,0),B(2,0,0),C($\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,0).
$\overrightarrow{AE}=(0,\sqrt{3,}-\sqrt{3}),\overrightarrow{EC}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$,$\overrightarrow{EB}=(2,-\sqrt{3},0)$.
設平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$,
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y=0,\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=0
令y=1,則$;\\;\\;\\;\overrightarrow{n}=(-\sqrt{3},1,1)$$\overrightarrow{n}=(-\sqrt{3},1,1)$,|cos$<\overrightarrow{n},\overrightarrow{EB}>$|=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{105}}{35}$.
∴BE與平面ACE所成角的正弦值為:$\frac{3\sqrt{105}}{35}$

點評 本題考查了線面平行,向量法求線面角,屬于中檔題.

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