Question

在焦點(diǎn)分別為F₁、F₂的雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)P，若∠F₁PF₂=

π

3

，|PF₂|=2|PF₁|，則該雙曲線(xiàn)的離心率等于（　�。�

• A、2
• B、

  2

• C、3
• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合條件求出|PF₂|=4a，|PF₁|=2a，再由余弦定理，即可得到a，c的關(guān)系式，再由離心率公式，即可得到．

解答： 解：由于|PF₂|=2|PF₁|，
則P在雙曲線(xiàn)的左支上，
則|PF₂|-|PF₁|=2a，
解得，|PF₂|=4a，|PF₁|=2a，
由于∠F₁PF₂=

π

3

，
則在△F₁PF₂中，由余弦定理，可得，
cos60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2+16a2-4c2

2•2a•4a

=

1

2

，
則有c=

3

a，即有e=

c

a

=

3

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．