Question

已知函數f（x）=-x²+8x，
（Ⅰ）求f（x）在區間[0，5]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在實數m，n（m＜n），使函數f（x）在[m，n]上的值域是[4m，4n]，若存在，求出m，n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當x∈[0，5]時，根據二次函數f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，利用二次函數的性質求得函數的最值．
（Ⅱ）假設存在實數m，n（m＜n），使函數f（x）在[m，n]上的值域是[4m，4n]，則f（x）在區間[m，n]上單調遞增，故有

n≤4 m＜n f(m)=-m2+8m=4m f(n)=-n2+8n=4n

．解得m、n的值，
從而得出結論．

解答：解：（Ⅰ）∵當x∈[0，5]時，二次函數f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，顯然函數在[0，4]上單調遞增，在[4，5]上單調遞減，
故當x=4時，函數取得最大值為16，當x=0時，函數取得最小值為0．
（Ⅱ）假設存在實數m，n（m＜n），使函數f（x）在[m，n]上的值域是[4m，4n]，
則f（x）在區間[m，n]上單調遞增，故有

n≤4 m＜n f(m)=-m2+8m=4m f(n)=-n2+8n=4n

．
解得

m=0 n=4

，故存在m=0、n=4，滿足條件．

點評：本題主要考查二次函數的性質，求二次函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．