Question

【題目】已知正三棱柱的底面邊長為，為的中點，平面與平面所成的銳二面角的正切值是，則四棱錐外接球的表面積為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

延長C1D與CB的延長線交于點M，連接AM．推導出D也是C1M的中點，AM∥DE，AM⊥平面ACC1A1，可得；再根據四棱錐A-BC外接球即為正三棱柱ABC-的外接球，找到球心位置，根據勾股數求得半徑，即可得到表面積．

如圖，延長C1D與CB的延長線交于點M，連接AM．

∵B1C1∥BC，D為BB1的中點，∴D也是C1M的中點，

又取E是AC1的中點，∴AM∥DE．

∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ACC1A1．

∴∠C1AC為平面AC1D與平面ABC所成二面角的平面角．

∴tan∠C1AC，∴，又AC＝，則

又四棱錐A-BC外接球即為正三棱柱的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的處，又底面外接圓的半徑為2r=∴，

∴四棱錐外接球的表面積為，

故答案為19.