Question

某校從高二年級學生中隨機抽取60名學生，將其會考的政治成績（均為整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求圖中a的值
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計該校高二年級學生政治成績的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在80分以上的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2人，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率．

Answer 1

分析：（1）根據所有的基本事件的概率之和等于1，可得a的值．
（2）估計該校高二年級學生政治成績的平均分為直方圖中各個小矩形的寬的中點橫坐標乘以小矩形高的10倍，相加所得結果即為所求．
（3）從中抽取6人為樣本，則這6人中，分數不低于90的有1人，另外5人的分數位于80至90之間．再從這6人中抽取2人，共有

C

2 6

=15種方法，而滿足條件的
抽法有5×1=5種，由此求得恰有1人分數不低于90的概率．

解答：解：（1）根據所有的基本事件的概率之和等于1，可得10×（0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005 ）=1，解得a=0.03．
（2）估計該校高二年級學生政治成績的平均分為 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（3）80分以上的學生共有60×（0.25+0.05）=18人，其中，不低于90分的有60×0.05=3人，分數位于80至90之間的有15人．
從中抽取6人為樣本，則這6人中，分數不低于90的有1人，另外5人的分數位于80至90之間．
再從這6人中抽取2人，共有

C

2 6

=15種方法，故恰有1人分數不低于90的概率為

1×5

15

=

1

3

．

點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，古典概率及其計算公式的應用，屬于基礎題．