Question

等差數列{a_n} 的前n項的和為S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n} 的通項公式；
（2）若數列{b_n} 滿足b_n-b_n=a_n-1（n∉N^*），且b₁=3，設數列的前n項和為T_n．求證：T_n＜．

Answer 1

（1）解：a₆=S₆-S₅=15，由=60，
解得a₁=5，又∵d==2，
所以a_n=2n+3．…4
（2）證明：∵b₂-b₁=a₁，
b₃-b₂=a₂，
b₄-b₃=a₃，
…
b_n-b_n-1=a_n-1，
疊加得=，
所以．…（9分）

∴，
∴
=
=．…（12分）
分析：（1）a₆=S₆-S₅=15，由=60，解得a₁=5，再由d==2，能求出{a_n} 的通項公式．
（2）由b₂-b₁=a₁，b₃-b₂=a₂，b₄-b₃=a₃，…，b_n-b_n-1=a_n-1，疊加得=，所以.，由裂項求和法能夠證明T_n＜．
點評：本題考查數列通項公式和數列前n項和的求法，證明T_n＜．解題時要認真審題，注意等差數列通項公式的應用和裂項求和法的靈活運用．