Question

【題目】如圖，已知四棱錐，平面，，，.

（1）求證：平面；

（2）求證：在線段上存在一點(diǎn)，使得，并指明點(diǎn)的位置；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析；點(diǎn)是的中點(diǎn)（3）

【解析】

（1）根據(jù)所給線段，應(yīng)用勾股定理逆定理可證明，結(jié)合平面可知，從而由線面垂直判定定理即可證明平面；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，表示出后結(jié)合平面向量數(shù)量積垂直的坐標(biāo)關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而確定的位置.

（3）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量平面的法向量，由空間向量數(shù)量積定義求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值，結(jié)合二面角為銳二面角，即可求得二面角的大小.

（1）證明：，

.

又，

，

，

又平面，平面，

，

平面，

，

平面.

（2）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，.

設(shè)，，則，

所以，

，解得，

所以點(diǎn)是的中點(diǎn).

（3）設(shè)平面的法向量為

，，

所以即

令，則.

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>，，

所以即，

令，則，

所以.

由圖知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的大小為.