Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）是否存在實數a，使函數在區間上的最小值為，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使函數在區間上的最小值為.

【解析】

（1）先求出切點的坐標，再求出切線的斜率得解；（2）先求出，再對a分類討論，求出每一種情況下的最小值即得解.

（1）當時，，，

，，

∴函數在點處的切線方程為.

（2）∵，，∴此函數的定義域為，

，

當時，恒成立，∴在上是減函數，

∴當時，取得最小值，

解得與矛盾；

當時，令，得（舍），，

在上，，在上，，

∴當，即時，函數在上是減函數，在上是增函數，

∴當時，取得最小值，

令，得，符合題意.

當，即時，函數在是減函數，

∴當時，取得最小值，即，

解得與矛盾.

綜上，存在，使函數在區間上的最小值為.